O demo de Laplace

Post realizado polo Prof. Xosé Masa, Catedrático de Xeometría e Topoloxia, ad honorem na USC.

A obra de Newton Philosophiæ naturalis principia mathematica, cos fundamentos do cálculo diferencial e o estabelecemento da Lei de Gravitación Universal,  representa un cumio do gran paradigma da ciencia moderna. Publicada o 5 de xullo de 1687, iniciou o proceso de prestixio e confianza na ciencia, que sobrevive en gran medida na crenza de que a tecnoloxía será capaz de dar resposta a calquera problema da humanidade.

Esta explosión de optimismo plasmouse na idea do determinismo, unha corrente do pensamento que pretendía que, coñecendo as condicións iniciais de calquera fenómeno, poderiamos describir o seu desenvolvemento no tempo, futuro e pasado. O representante máis xenuíno de tales ideas foi Pierre-Simon Laplace (1749-1827) quen, a principios do século xix, afirmaba que para “unha intelixencia que coñecera nun momento dado todas as forzas que actúan sobre a natureza e as posicións relativas dos seres que forman parte dela” e que fose suficientemente ampla, “tanto o futuro como o pasado estarían presentes ante os seus ollos” (Essai philosophique sur les probabilités, 1814). Semellante mente é hoxe referida como o demo de Laplace.

O fin da certeza

A finais do século pasado, nun movemento pendular, aparecen voces e doctrinas que, ben o contrario, afirman o fin da certeza. Antes de entrar nas causas deste cambio de opinión, cómpre dicir que unha cousa é o determinismo, algo máis teórico, cun carácter absoluto, e outra a certeza, que apela a unha apreciación subxectiva. Resulta incontestábel que nunca houbo medidas e observacións tan precisas como hoxe, precisión que aumenta día a día.

Hai unha  liña de cuestionamento da certeza que tan só imos citar, con discursos as veces profusos, pero erráticos e superficiais. Liña que se apoia no feito da imposibilidade formal de probar que as matemáticas son consistentes, consecuencia de diversos resultados estabelecidos no pasado século, particularmente por Gödel  e por Cohen, que conclúen na indecidibilidade da hipótese do continuo; non ten especial importancia neste contexto, pero se trata do seguinte: a cada conxunto asóciase un cardinal, algo así como o número de elementos do conxunto (xustamente iso cando o conxunto é finito). Dous conxuntos terán o mesmo cardinal cando se poda estabelecer unha correspondencia “bixectiva” entre eles. O cardinal do conxunto dos  números enteiros é o menor cardinal infinito. O cardinal do conxunto de números reais é estritamente maior. A cuestión indecidíbel é se existe algún intermedio.

Se cadra o mellor comentario ao respecto sexa o feito por Hermann Weyl, citado por  M. Kline [2, páx. 315]:

Deus existe porque as matemáticas son indubidabelmente consistentes,
e o demo existe, porque non podemos  probar a consistencia.

Unha crítica máis substanciosa pódese ler no libro de R. Penrose, [4, páx. 152]. Glosando as súas verbas, “o concepto de verdade matemática non pode ser encapsulado en ningún esquema formalista”.

Procesos caóticos

Outro cuestionamento da certeza é de natureza práctica (dicir que esta incerteza é de natureza práctica non debe levar a pensar que unha técnica mellor a poida obviar, a medida absolutamente precisa non existe). No decorrer do século xx varios estudos matemáticos puxeron de manifesto a existencia de moitos procesos que agora se denominan caóticos. Son procesos extremadamente inestábeis, no senso de que unha pequena variación nas condicións iniciais orixina enormes diferencias na evolución e estado final do proceso considerado. Un exemplo característico ven dado pola dinámica atmosférica; pequenas variacións poden ocasionar que unha borrasca entre de cheo polas nosas costas, ou que non chegue mesmo a rozar Fisterra. Para resaltar tal fenómeno, popularizouse a expresión “efecto bolboreta”, inspirada na frase pronunciada polo meteorólogo Edward Lorenz en 1961, quen dixo que o bater das alas dunha bolboreta no Brasil podería causar un tornado en Texas!

Antes de ser bautizados como caóticos, os sistemas lineares inestábeis xa foran estudados por Poincaré, que en 1903 escribía [4, páx. 58]:

Se soubésemos as leis da natureza e a situación do universo no momento inicial, poderiamos predicir con precisión a situación deste mesmo universo nun momento posterior. Pero aínda que as leis naturais non tivesen segredo para nós, non poderiamos coñecer a situación inicial máis que aproximadamente. Se isto nos permite prever a situación posterior coa mesma aproximación, iso é todo o que necesitamos, entón dicimos que o fenómeno foi previsto, que está rexido polas leis. Pero non sempre é así, pode ocorrer que pequenas diferenzas nas condicións iniciais xeren outras moi grandes nos fenómenos finais. A predición fíxose imposíbel e topamos co fenómeno aleatorio.

A existencia de procesos caóticos cuestiona a capacidade de obter toda a información necesaria para concluír. Non cabe esperar ser capaz de coñecer plenamente a evolución dun proceso inestábel. Mesmo deixando ao marxe os procesos cara ao pasado, onde talvez as propias leis físicas cuestionen a posibilidade: partir dunha tortilla e describir formalmente o proceso que recupere o ovo! Por suposto, aceptamos que nós nunca seremos capaces de predicilo todo, nós non somos o demo! Haberá quen defenda que a indeterminación é froito da nosa ignorancia, e que tal limitación non afecta á natureza. Ela non precisa dunha teoría para actuar, un manual para camiñar. Pode ser que nunca se nos mostre plenamente, que cando retira unha man pouse a outra. Pero pretender una resposta ao marxe da teoría esixe baixar á esencia mesma da realidade, algo que excede ao pensamento analítico. Así pois, para debater sobre o determinismo temos que precisar o significado que lle damos, que estará estreitamente vencellado aos modelos teóricos de interpretación da realidade utilizados.

O determinismo

Adoítase presentar as leis da física clásica como formalmente  deterministas; serían reversíbeis a repecto da variábel “tempo”. Recorrendo ao modelo  do espazo-tempo de Minkowski (limitado por non considerar a gravidade) podemos, amparados pola norma relativista, situar todos os aconteceres, para nós pasados, presentes ou futuros, como puntos deste espazo, pois para algún observador terían xa acontecido.  En tan hipotético caso, debemos ter presente que  ningún fenómeno para nós futuro podería afectarnos causalmente.  Así, a propia causalidade requiriría alguna precisión: non existen un antes e un despois universais, absolutos; teñen, como moito, un significado local (a física cuántica obrigará a engadir “e macroscópico”).

Pero, ao marxe de tal condicionante, a física clásica, relativista incluída, é unha teoría que non achega respostas válidas en determinadas condicións  extremas, particularmente a moi pequenas escalas (ou outras circunstancias, como a existencia dunha gravidade enorme), ao seren teorías que se asentan sobre modelos xeométricos continuos, construídos habitualmente a partir do conxunto dos números reais. Modelos que teñen demostrado a súa eficacia, permitindo facer cálculos moi precisos, pero que non son calcos da realidade. Xustamente a mecánica cuántica nace do cuestionamento dos procesos continuos.

Vémonos na obriga de indagar, pois, no marco da teoría cuántica, e lidar co principio de incerteza de Heisenberg, nun espazo-tempo granular, cuantizado.

O principio de incerteza estabelece a imposibilidade de determinar con precisión, a un tempo, posición e momento dunha partícula. Non é infrecuente atopar a seguinte xustificación deste principio: para determinar a posición dunha partícula, un electrón, por exemplo,  cómpre bombardeala cun fotón; pero a colisión subseguinte altera fortemente e de xeito incontrolábel o seu momento. Esta argumentación ten a eiva de que suscita a sospeita de incompetencia na forma de medir, algo que o demo de Laplace podería evitar. Ademais, simplifica o alcance do mencionado principio, pois este pon en cuestión mesmo a existencia ou sentido dos conceptos de posición e de momento, o mesmo concepto de partícula resulta inapropiado.

Cómpre insistir en que, neste modelo, a incerteza cuántica non é unha característica da observación, da medida; é unha característica física do universo; ou sexa, o modelo da física cuántica incorpora esta peculiaridade. No marco deste modelo, pois, o demo de Laplace non tería ningunha chance! Como nos ensina a física cuántica, a escalas subatómicas non persisten os conceptos de antes e despois, a causalidade ponse aquí en cuestión. Ábrese a sospeita de que a percepción habitual de secuencias de causa-efecto, lonxe de universal, ten una validez limitada. Sumadas a aleatoriedade e as flutuacións cuánticas permanentes, a evolución do sistema semella imprevisíbel.

Examinados os dous modelos que mellor describen o universo que observamos, concluímos que un deles, formalmente determinista (cando menos localmente), non permite, na práctica, obter todos os datos que describen o estado do sistema; nin seguramente sería posíbel realizar os cálculos necesarios. E, sobre todo, non é capaz de dar conta de certo tipo de procesos.  O outro comporta procesos explicitamente non deterministas, como o colapso da función de ondas. E se dispuxeramos dun sistema que abranguera ambos modelos, sen dúbida tampouco sería determinista.

Non negamos a causalidade, toda a ciencia experimental constrúese en base ás relacións causais. Un fenómeno acontece nunha cadea, unha liña que pode ser máis ou menos determinante, pero existente. O determinismo supón algo máis que a súa aceptación: as presupón unívocas, universais e remotas. Tal extrapolación extrema e global da experiencia da mente humana, non estaría necesariamente fundada no discurso teórico. O determinismo extremo non parece que teña hoxe moito predicamento. Poñería en cuestión, por exemplo, os argumentos de non localidade da física cuántica; observadores afastados que midan propiedades dalgunhas partículas, atoparían un resultado ao que tales partículas estarían inevitabelmente abocadas.

Un par de observacións a modo de resumo, antes de abandonar o percorrido polos modelos físicos do universo. Primeira: dado que nada pode medirse con precisión absoluta, os procesos caóticos orixinan unha indeterminación; non atangue só á teoría cuántica, ao mundo subatómico. En palabras de Murray Gell-Mann [1, páx. 57]:

 “[...] para moitos propósitos, é útil contemplar o caos como un mecanismo que amplifica a escala macroscópica a indeterminación inherente á mecánica cuántica”.

A mesma idea que expresaba Poincaré na cita coa que abríamos estas reflexións!

Segunda: partindo de dúas configuracións hipoteticamente idénticas, ou sexa, para as que ningunha medida no marco teórico considerado fose distinta, o principio de incerteza e as flutuacións cuánticas poderían levar a evolucións diferentes; produciríase, pois, unha perda de información, os procesos non poderían ser reversíbeis.

Reversibilidade e conservación da información son propiedades moi vencelladas ao determinismo. Candidatos a fenómenos non deterministas serían a disipación do calor (o lume será un proceso marcadamente irreversíbel); e, máis teórico pero central na física cuántica, o colapso da función de onda, un proceso manifestamente non determinista, amplamente aceptado pero mal comprendido. O que alimenta a sospeita de que, como en tantas outras ocasións, a intuición arraigada dunha causalidade universal non se acomoda á xeneralidade dos fenómenos observados.

Estamos sometidos a un deseño cósmico ineludíbel? Estaba todo escrito cando o big bang, naquel magma primixenio?  Había, naquelas circunstancias extremas, tanta información perdurábel? Ademais, segundo algúns teóricos, a etapa inflacionaria que se supón segue ao big bang borra todo recordo anterior do estado do universo. Que información perdura nos procesos extremadamente violentos que acontecen no vasto espazo, como a colisión de buracos negros?

Pode existir unha cadea remota que ate a nosa historia e a de todo, radiación, partículas e suspiros, polos séculos dos séculos? Desde a implosión da estrela onde naceron os átomos que nos conforman? Boa parte do que somos e do que vemos procede deses crisois remotos. Daría o determinismo sentido físico a esa expresión de ter má ou boa estrela? Se a resposta é afirmativa, se a conclusión fose que todos os nosos actos, mesmo pensamentos, estiveran determinados, teriamos que modificar a nosa conciencia como individuos, seriamos nós e as nosas circunstancias, circunstancias que se prolongarían ata un principio común. Mais non é a verquinte moral, o libre albedrío como capacidade para optar entre o ben e o mal, a que nos interesa. Nada temos que engadir ás prolixas discusións teolóxicas mantidas  ao longo da historia, onde o debate máis problemático versaba sobre a consideración de praedestinati, ou previamente destinados por deus á salvación, e os praesciti,  que deus sabe serán condenados.

Levamos o libre albedrío na alma; a teoría semella darnos a razón. Acabarei cunha cita que suxire un punto e seguido. Está tomada dun estimulante libro de Ian Stewart [5], cita que presenta como “Eslogan de camiseta”:

Adoitaba ser indeciso,

pero agora non estou tan seguro.

Referencias

• 1.- M. Gell-Mann, El quark y el jaguar, Círculo de Lectores, Barcelona, 1995.
• 2.-M. Kline, Matemáticas, la pérdida de la certidumbre, Siglo xxı, Madrid, 1985.
• 3.-R. Penrose, La nueva mente del emperador, Mondadori, Barcelona, 1999.
• 4.-H. Poincaré, La ciencia y la hipótesis, Espasa-Calpe, Buenos Aires, 1943
• 5.-I. Stewart, ¿Juega Dios a los dados?, Crítica, Barcelona, 2001

Xosé M. Masa

Outubro, 2023