topoloxía

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A propósito de André Louis Cholesky


Sección A Propósito dos Libros

Pilar Mato Eiroa

 

Post realizado por la profesora Pilar Mato Eiroa del Departamento de Matemática Aplicada de la USC. 

 

Aunque desde la antigüedad se resolvían lo que puede ser interpretado actualmente como sistemas de ecuaciones lineales, se necesitó tiempo para formalizar el concepto. Como muestra, de 107 álgebras impresas entre 1550 y 1660, sólo 4 libros contenían ecuaciones lineales simultáneas. Además, el término eliminación se debe al francés Sylvestre François Lacroix (1765-1843) que en un texto de 1804 escribía “This operation, by which one of the unknowns is removed, is called elimination”.

Si bien el vocablo matriz apareció en la literatura matemática en 1850 con el británico James Joseph Sylvester (1814-1897), el nacimiento de las matrices y del álgebra lineal se atribuye al también británico Arthur Cayley (1821-1895), quién publicó en 1858 el texto A Memoir on the Theory of Matrices; botón de muestra de su ingente trabajo es la demostración de que una matriz de orden 2 o 3 satisface la correspondiente ecuación característica matricial. El irlandés William Rowan Hamilton (1805-1865) probó el mismo resultado, para matrices de orden 4, en el curso de sus investigaciones sobre los cuaterniones, una generalización de los números complejos, formados por cuaternas, en lugar de pares, de números reales. Tal resultado se conoce actualmente como teorema de Cayley-Hamilton, atribuyéndose la primera demostración para matrices de orden arbitrario al alemán Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917), quién la realizó alrededor de 1878. Dicho teorema permite justificar la búsqueda de la solución de un sistema lineal en sucesivos subespacios de Krylov, nombrados así como homenaje al ruso Aleksei Nikolaevich Krylov (1863-1945), y generados por las sucesivas potencias de A aplicadas a un vector inicial; es la base sobre la cual reposan métodos para la resolución de sistemas de orden elevado tan conocidos como el método del gradiente conjugado (CG), propuesto en 1952 por Magnus R. Hestenes y Eduard Stiefel, o el método del residuo mínimo generalizado (GMRES), propuesto en 1986 por Yousef Saad y Martin H. Schultz.

Los trabajos más tempranos sobre mínimos cuadrados comenzaron a finales del siglo XVIII en el ajuste de observaciones celestiales. El honor de la primera publicación del método corresponde al francés Adrien-Marie Legendre (1752-1833) en un anexo de la obra Nouvelles methodes pour la determination des orbites des cometes, en 1805. El alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855) en su tratado Theoria motus corporum coelestium, publicado en 1809, indica que él utilizaba dicha técnica desde 1795. En ambos casos, se trataba de resolver un número de ecuaciones lineales simultáneas superior al número de incógnitas, es decir, un sistema lineal sobredeterminado cuya expresión es Ax=y, siendo A una matriz m×n, con m>n. La solución en el sentido de mínimos cuadrados, x̃, es única cuando A tiene rango máximo y es la solución del sistema con matriz cuadrada (ATA)x̃=ATy, denominado sistema de ecuaciones normales.

La resolución sistemática de sistemas lineales mediante eliminación comenzó a desarrollarse debido a los valores militar y económico de la cartografía. Una vez efectuada la triangulación del terreno se escribían un cierto número de ecuaciones representando las relaciones geométricas entre diversos elementos de la triangulación lo que habitualmente conducía a un sistema sin solución, en parte motivado por los errores en las observaciones. Con el fin de compensar dichas observaciones, se reescribe el sistema incluyendo los residuos y se obtiene como resultado un sistema lineal subdeterminado, con un número de ecuaciones inferior al número de incógnitas, cuya expresión es Ax=y, siendo A una matriz n×m con m>n. El método para resolverlo, ideado por Gauss hacia 1826, elige las compensaciones más plausibles, y consiste en un método de mínimos cuadrados similar al caso anterior. La solución en el sentido de mínimos cuadrados, x̃̃, es única cuando A tiene rango máximo y consiste en obtener en primer lugar la solución del sistema con matriz cuadrada (AAT)x̃=y, denominado sistema de ecuaciones normales, y luego multiplicarla por AT, resumiendo x̃̃=AT(AAT)-1y.

En este punto de la historia, recurrimos al texto escrito por los profesores franceses Claude Brezinski y Dominique Tournès, publicado en el año 2014, André Louis Cholesky, Mathematician, Topographer and Army Officer; en el mismo se hace una semblanza de su corta vida y de su intensa obra, la cual incluye el método que lleva su nombre y que goza de una gran popularidad en el ámbito del Álgebra Lineal Numérica. Es el texto perfecto para recordarle en el año en que se cumple el centenario de su muerte, acaecida a las 5 de la mañana del 31 de agosto de 1918,  en Bagneux, Francia, a causa de las heridas producidas en el campo de batalla. Fue posible, en gran medida, gracias al metro cúbico de documentos donados, en 2003, por los descendientes de Cholesky a la École Polytechnique en Paris, lugar donde éste estudió entre 1895 y 1897. Entre los documentos se encontraba el manuscrito autógrafo en el que se describía el método de Cholesky, lo cual supuso para el profesor Brezinski “el principio de una gran aventura”. Es significativo que dicho método fue expuesto por primera vez en una nota de 1924, es decir 6 años después de la muerte de su autor, por el comandante Benoît, un antiguo compañero del ejército francés; aunque conocido entre los topógrafos, su auge se debe a la checoslovaca Olga Taussky y a su marido, el irlandés John Todd, quienes lo recuperaron hacia 1946, haciéndose un hueco en los manuales de los algebristas lineales numéricos de los años 50 del pasado siglo.

Según el obituario escrito por el comandante Benoît en 1922, fue hacia 1900, con motivo de la revisión del meridiano de París, misión asignada a la Sección de Geodesia, que Cholesky imaginó su método para resolver las ecuaciones normales. Parece que lo utilizó en  Argelia, donde fue destinado, por primera vez, en 1902, mientras que el manuscrito que lo contiene Sur la résolution numérique des systèmes d’équations (8 páginas escritas en hojas de papel de 21.8 cm×32 cm) data del 2 de diciembre de 1910. El quid consistió en pensar que dado que muchos sistemas subdeterminados dan lugar a las mismas ecuaciones normales, quizás dadas unas ecuaciones normales se podría encontrar un sistema de partida que se pudiese resolver más fácilmente y, efectivamente, detalló cómo encontrar un sistema alternativo con matriz triangular inferior.

Para los autores del texto, constituye un trabajo perfecto de investigación en el ámbito del Análisis Numérico pues contiene: motivación del problema, presentación y justificación teórica de un nuevo algoritmo, estudio de su estabilidad numérica, explicaciones sobre su implementación a mano y en una calculadora mecánica Dactyle, análisis de los problemas numéricos debidos a la precisión finita de los cálculos, procedimiento para comprobar los resultados y comentarios sobre el tiempo de cálculo empleado. Como curiosidad, la resolución de un sistema de orden 10 con 5 dígitos decimales requería de 4 a 5 horas; además, el método se usó con éxito para varios sistemas de orden 30, y para uno de orden 56.

Pues bien, además de la parte matemática, los lectores del texto se encontrarán con estrategia militar, geografía, historia o topografía. Un texto muy rico sin duda recomendable para los estudiantes del Grado en Matemáticas o de los Dobles Grados Ingeniería Informática/Matemáticas y Matemáticas/Física impartidos actualmente en la Facultad de Matemáticas de la USC.

En Santiago de Compostela, octubre de 2018

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Relatos topolóxicos: onte e hoxe


Sección A Propósito dos Libros
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Xosé M. Masa

 

Post realizado polo Catedrático de Xeometría e Topoloxía da USC  Xosé M.  Masa 

 

A Topoloxía, como rama autónoma, naceu no século XX, e nel creceu ata se facer un oco á par da álxebra e da análise. Naceu da man dos conceptos de distancia e de límite, e precisou dun longo camiño de autoafirmación, no que cada chanzo requiría rozar patoloxías, a base de contraexemplos. Sumada á aridez propia da súa formalización axiomática e da súa estreita concatenación coa teoría de conxuntos, cada manual abondaba nunha espiral infinda de enfoques diversos, resultados parciais, novos axiomas, excepcións innúmeras,… As árbores non deixaban ver o bosque, quen se iniciaba no seu estudo non comprendía a razón de tanta gramática para ser capaz finalmente de dicir tan pouco. Os novos tempos, o novo milenio, se queredes, trouxeron o desafío de mudar, soltar lastre e, coa mochila lixeira, avanzar ata os teoremas, a terra prometida.

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Felix Hausdorff

Unha das caoriginalracterísticas dos textos clásicos é o amplo espazo adicado á teoría de conxuntos, rebordando as necesidades da materia desenvolta. O que non debe sorprender, pois esta rama da topoloxía foi formalmente iniciada por Cantor, no que chamaba «teoría de conxuntos de puntos», centrada no estudo de propiedades de subconxuntos do espazo euclidiano, propiedades ás que deu nomes que perduran (aberto, pechado, punto de acumulación, conxunto derivado,…) Esta orixe común motiva que o libro universalmente citado coma berce do concepto moderno de espazo topolóxico abstracto sexa Grundzüge der Mengenlehre (Fundamentos da teoría de conxuntos), de Felix Hausdorff, publicado en 1914, onde só na páxina 258, cara o final do libro, fai mención explícita do espazo topolóxico abstracto, e enuncia os seus axiomas.

A outra característica tradicional é o tratamento dado á excepción, ao patolóxico, nun longo camiño de conceptos e resultados técnicos, con sucesivas hipóteses, na procura do «regular», do «normal», do espazo cun comportamento razoablemente bo, preferiblemente, metrizábel; meta que ben puidese representar o que hoxe se denomina espazo polaco.

A isto hai que engadir que alá polos anos 50, tempos de posguerra, iniciouse unha moda de libros herméticos, que menosprezaban as moitas explicacións e fuxían dos debuxos. Foi coma un xarampón que afectou a toda a matemática, a «enfermidade infantil do formalismo». Despois crecemos, aceptamos a incerteza e aprendemos a valorar imaxinación e creatividade. A Topoloxía foi ben sensible a ese movemento. De estudante encandeoume o libro de Hu, tan conciso, nada de literatura: definicións, enunciados, demostracións,… Nin debuxos, nin diagramas. Tamén o Bourbaki, que abría con veneración (a mesma que lle sigo profesando).

Para seguir a súa andadura e apreciar a mutación no estilo, imos achegarnos a dous textos, un que posúe a pegada dás orixes, outro entre os postremeiros dese tempo. Libros que poden servir de manuais para os e as estudantes do Grao en Matemáticas.

Kazimierz Kuratowski

Kazimierz Kuratowski

Para acudir a un clásico, quen mellor que un representante da escola polaca, Kazimierz Kuratowski, mestre antigo. Autor dun vasto tratado, escrito en francés, en Varsovia, Topologie, varias edicións con importantes engadidos. Escrito con tempo e sosego, invocando extensamente aos autores que van construíndo a teoría, el entre outros moitos, labrando conceptos que van cristalizando, ou non; longas veladas no camiño da madurez que, nos anos 50, coa demostración do Teorema de Metrización de Nagata e Smirnov, acadará o fito que culmina esta etapa.

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Pero será outro texto do autor o que consideremos aquí,  máis breve e atinxíbel, escrito en polaco nos anos 50, do que seguiremos a segunda edición inglesa, moi ampliada, de título Introduction to set theory and topology. Como non podía ser menos, a primeira parte trata da teoría de conxuntos, na que se inclúe, por exemplo, aritmética de cardinais e ordinais, cunha moi boa descrición, por certo, dos conxuntos de ordinais. A pesar de que, despois, non se utilizan para construír exemplos de espazos topolóxicos. E, inevitablemente, non aforrará munición para percorrer os espazos T1, T2, regulares,  completamente regulares, normais,… Pero é se cadra nos exercicios, que precisan as veces longas indicacións, onde o equilibrio resulta menos logrado.

 

O segundo texto51ot1jgqdol-_sx327_bo1204203200_ escollido é Topological Spaces, From Distance to Neighborhood, de Gerard Buskes e Arnoud van Rooij, Springer, 1997. O subtítulo é unha expresiva declaración de intencións: partir das ferramentas primixenias da análise ata acadar a abstracción do espazo topolóxico. Un esforzo de explicación do alento da topoloxía abstracta, mostrando un variado mosaico de achegas, dinámico, áxil, asumindo riscos na ambición de convencer, cativar. Entusiasta, con propostas múltiples, lecturas, notas históricas das ideas e das xentes, fiestras que se abren a campos menos habituais (análise non standard, números p-ádicos,…), métodos novos, raramente en manuais deste nivel (Teorema de Tietze demostrado por interpolacións,…), un apuntamento sobre a emerxencia do matemático profesional, recomendacións bibliográficas puntuais ben acaídas,… percorrido palpitante ao ar libre, despegado dos axiomas de separación.

 

Dous textos excelentes, distantes en tempo e forma, cun nexo común que quen subscribe aprecia: a énfase na converxencia coma fundamento e ferramenta. E ambos xustifican a súa opción na naturalidade e maior sinxeleza conceptual de tal aproximación. Un primeiro texto a metade da ascensión, avanzando con paso experto, un segundo texto que contempla con deleite a paisaxe que divisa aos seus pés.

 

Compostela, febreiro de 2017

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