Sabemos que é unha recta?

Sección A Propósito dos Libros

Post realizado polo Prof. Xosé Masa, Catedrático de Xeometría e Topoloxia, ad honorem na USC.

Durante milenios a humanidade foi acumulando e depurando saberes incertos, nun proceso no que a emoción rebordaba acotío á razón. Ata que irrompe unha civilización que entronizou o pensamento crítico fronte ao desvalemento máxico. Foi o momento en que xurdía o razoamento dedutivo, plasmado nos Elementos de Euclides (ca. 325 a. n. e.- ca. 265 a. n. e.), primeiro paradigma xeométrico. A historia, máis curta despois, precisou unha longa travesía para relativizar aquel saber e abrir o pensamento á complexidade observada. Movemento que, como tantas aspiracións liberadoras, agromou ao longo do século xıx, dando lugar a un novo paradigma, os espazos de xeometría variábel.

Así se preparou a humanidade para afrontar as preguntas máis complexas, de formulación tan simple. Que é a distancia, que o tempo, cales os camiños… De xeito que a xeometría permitiu formalizar moitas respostas físicas. Ignorante aínda do novo desafío cuántico

Cando miramos o horizonte constatamos os leves indicios da esfericidade terráquea, algo que coñecemos e non nos produce sorpresa. Mesmo temos visto imaxes da terra desde o exterior, unha pequena bóla flotando na inmensa escuridade. Non sempre foi así: cando naceu a xeometría a nosa crenza e intuición acreditaban unha terra plana e inmóbil.

Recta e puntos, recta e números; dificultades que atormentaron ás mentes máis lúcidas, o que non impediu o desenvolvemento daquela xeometría, pronto considerada non só como verdadeira, concepto problemático que se daba por sentado, tamén teoría necesaria, consubstancial coa natureza do universo. Xeometría que esquivou a esfericidade da terra amparándose no suposto dun universo infinito. Somos prisioneiros de ideas antigas, nacidas de experiencias limitadas, que sufriron xeneralizacións abusivas e se converteron en principios inmutábeis, en espazo absoluto e plano. Ideas que poboaron o noso pensamento, conturbando a nosa razón.

Quen ignora o que é unha recta? A distancia entre dous puntos, a traxectoria dun avión, a rectitude… A linguaxe é moi maleábel. Non é o noso tema. Imos falar daquilo que para Platón era máis real que calquera cousa que puideramos tocar coas mans. Poderiamos preguntar a Euclides, pero a súa definición foi inconsistente.

Alguén podería debuxar, no plano, máis dunha paralela a unha recta pasando por un punto? Euclides non era quen de demostrar tal unicidade, así que a incluíu como un postulado, o V. Este é un elemento clave nesta historia. Temos unha idea arraigada de recta, como algo natural na nosa xeografía, aínda que non saibamos nin construíla nin definila. Hoxe delégase nos axiomas a súa caracterización. As rectas que aprendemos na escola son, xustamente, as que se corresponden con V postulado de Euclides!

Durante máis de 2000 anos unha pléiade de xeómetras procuraron demostrar que a paralela tiña que ser única, que o postulado non era necesario. Co paso do tempo tal convicción foi decaendo, no século xvııı xa só a cegueira ideolóxica impedía concluír. E houbo que esperar aínda 100 anos, ata ben entrados no xıx, para que outras xeometrías sen tanta atadura verán a luz.

Era necesario o V Postulado? Desde o primeiro momento houbo unha enorme cantidade de intentos de demostralo; a maioría, en realidade, partía de enunciados que equivalían a tal Postulado. Ata a chegada de Saccheri (1667-1733), quen a principios do século xvııı argumentou correctamente, para finalmente renegar da súa conclusión porque “repugnaba á natureza da recta”. Non debe sorprender, a euclidiana considerábase unha xeometría necesaria, case divina; a súa negación podía ser considerada herexía!

Dous mil anos de esforzos, sometidos á tiranía do debuxo plano, euclidiano. E á concepción física naíf do universo. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) principiado o século xıx é unha referencia ineludíbel. Non en van foi considerado princeps mathematicorum. A el débese a denominación xeometría non euclidiana; di que comezou a pensar nestas cuestións aos 15 anos. Cando J. Bolyai publicou os seus resultados Gauss renunciou a comunicar os propios, que eran moi completos. Nunha carta célebre comenta que teme “a reacción dos beocios”. Aínda hoxe ten moita vixencia a crenza de que a xeometría euclidiana é a verdadeira.

Corresponde a N. Lobachevski (1792-1856) e a J. Bolyai (1802-1860) o honor indiscutíbel de concluír que a nova xeometría podía ser verdade (os dous abordan isto como unha cuestión empírica, non desde o punto de vista formal da súa consistencia), e de desenvolver as súas propiedades. O seu traballo é escuro, moi centrado na nova trigonometría que se requiría, e carentes dos modelos que permitiron que entrara polo ollos. So despois das ferramentas xeométricas de Riemann (1826-1866) foi posíbel a súa construción, e acadaron a expresión máis eficaz e bela cós realizados por Poincaré (1854-1912), modelos do que hoxe se denomina xeometría hiperbólica. A seguinte figura reproduce un debuxo de M. C. Escher (1898-1972) coa xeometría do disco hiperbólico de Poincaré; todos os anxos e todos os demos teñen o mesmo tamaño!

Ao botar unha ollada aos ceos nocturnos, cheos de estrelas, divisámolas lonxe, en liña recta. Agora sabemos que non, que a recta é unha aparencia, unha ficción, aquela precisa simplicidade da xeometría escolar. Cando os xeómetras xa avanzaran na pescuda teimosa sobre os fundamentos, non por receo, senón na procura dunha maior simplicidade, cando xa outras xeometrías xurdiran, con outras rectas, a física entra en liza dándonos a súa resposta. Xa non se trata dun exercicio formal, trátase do universo que hai aí fóra! Que é unha recta? E Einstein sentenciou: as rectas son os camiños da luz. Non é nin un dogma nin un axioma. É unha teoría, un modelo soberbio para unha teoría soberbia, a física relativista. A xeometría de Riemann é a ferramenta. Masa e enerxía xeran curvatura, a xeometría do espazo-tempo; as rectas son as xeodésicas, traxectos máis económicos, camiños da luz.

A forza e ousadía de Riemann para ampliar a abstracción e despoxarse da rixidez euclidiana tivo moito que ver coa súa ollada apegada á realidade física. Adiantándose as teorías do século xx, Riemann asocia materia a xeometría para determinar o que é certo no espazo físico. E a nova física relativista atopa na xeometría de Riemann a ferramenta imprescindíbel! A xeometría do novo modelo non ten curvatura constante; non só varía dun lugar a outro, tamén muda permanentemente coas diversas configuracións materiais!

Modelos que non son calcos da realidade, que precisan adaptarse as observacións cada vez máis eficaces. Cada desaxuste esixe corrección, cada corrección, cotexo coa observación, nun proceso apaixonante no que o universo non deixa de sorprendernos!

Xosé M. Masa

Setembro 2023

A longa marcha da xeometría: da Antigüidade a Riemann, con parada en Euclides.

Dispoñible no fondo da Biblioteca da Facultade de Matemáticas coa signatura: 1204 211

Dispoñible para compra/información do libro,