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Matemáticas y Política: estrategia, votaciones, poder y demostraciones


Sección A Propósito dos Libros

Adrián Fernández Tojo

 

 

Post realizado por Adrián Fernández Tojo profesor ayudante doctor en el Departamento de Estatística, Análise Matemático e Optimización de la USC.

 

 

Como se acerca ineludiblemente la fiebre electoral he decidido rendir honor a tan augusta ocasión sacando a colación un libro que leí a finales de los salvajes 2000, cuando aún era estudiante y tenía la vida por delante: Mathematics and politics : strategy, voting, power and proof (se puede acceder a la versión electrónica desde aquí). Aquí hablaremos de la segunda edición. Este libro viene siendo una guía de política matemática para fanes de House of Cards. En él se explica, sin necesidad de conocimiento matemático más allá de saber lo que es una matriz, cómo entender las matemáticas detrás de las situaciones que tan a menudo surgen cuando los seres humanos nos vemos obligados a ponernos de acuerdo (para al final fracasar miserablemente en el intento).

El libro trata temas muy diversos que se enmarcan en el ámbito de la teoría de juegos y la teoría de la decisión, pero yo me voy a centrar en los tres siguientes que, ¿por qué no?, separaré en las tres fuerzas básicas de The Legend of Zelda: Ocarina of Time: Sabiduría, Valor y Poder.

 

Sabiduría: Un método para elegir con justicia

Los filósofos, juristas, parlamentarios y matemáticos, además de un surtido nada desdeñable de ingenuos, buscaron durante años (milenios de hecho) la panacea de los métodos de decisión, es decir, aquel método que nos permita tomar entre todos una decisión lo más justa posible en relación a las preferencias de cada uno.

Con el tiempo se llegaron a concretar tres propiedades que todo sistema que pudiésemos considerar, cuando no óptimo cuanto menos decente, debiera satisfacer; a saber:

  1. Monotonía: Si la opción finalmente elegida hubiese recibido más votos seguiría siendo la opción elegida.
  2. Pareto: Si todo el mundo tiene las mismas preferencias la decisión final tendrá que reflejar exactamente esas preferencias.
  3. Independencia de las alternativas irrelevantes: Si la gente prefiere una opción X sobre una opción Y el resultado final reflejará eso, independientemente de lo que opinen sobre las mismas en relación a una tercera opción Z.

La pregunta ahora, claro está, es la siguiente: ¿Es posible establecer un método de elección que satisfaga estas tres propiedades? La respuesta es un rotundo sí: eligiendo a un dictador. Se nos rompió la democracia de tanto usarla.

Kenneth Arrow recibió en 1972 el Premio Nobel de Economía por este teorema que lleva su nombre (Capítulo 7). La tesis del teorema no es en realidad sorprendente, simplemente confirma el dicho popular: nunca llueve a gusto de todos, por tanto, si queremos actuar con justicia, entonces que nunca llueva a gusto de nadie.

Ilustración del Teorema de Arrow

El lector perspicaz tal vez ya se haya olido el gato encerrado en todo esto. A fin de cuentas, ¿son esas propiedades tan importantes como parecen? ¿no podemos renunciar a alguna o cambiarla por otra? ¿y qué pasa si lo hacemos? Para obtener la respuesta a estas preguntas sólo tienes que leer el libro.

Valor: Una decisión importante

Puede que el lector esté familiarizado con el dilema del prisionero (Capítulo 4). Si no, lo resumo rápidamente. Supongamos que, enfrentados a la justicia por un robo con un compinche, tenemos que decidir si confesar o no delatando, en caso de hacerlo, a nuestro compañero. Supongamos que la tabla siguiente indica los años de cárcel que nos caerían nosotros (jugador A) o a nuestro compinche (jugador B) en función de nuestra decisión y la del compañero:

B
A
Nuestro compañero permanece en silencio Nuestro compañero confiesa
Permanecemos en silencio
1
1
0
3
Confesamos
3
0
2
2

Un rápido análisis nos permite ver que lo mejor para ambos, racionalmente, es confesar ya que ese es el equilibrio de Nash. Este mismo principio se aplica a las carreras armamentísticas o a la crisis de los misiles de Cuba. Pero, ¿qué pasaría si tuviésemos que participar en el mismo juego una y otra vez? (Capítulo 10). Puede que la vida no dure para siempre, pero las probabilidades de vivir para ver un nuevo día son altas. En este caso la estrategia óptima cambia. Aquellos con los que nos relacionamos toman nota de nuestras acciones y actúan en consecuencia, por lo que traicionarlos no suele ser la mejor opción a la larga: lo que conviene es tener el valor de tomar la decisión correcta aunque en el momento nos cueste por el precio que tenemos que pagar por ella.

Poder: Un partido para atraerlos a todos y atarlos en las tinieblas

¿Qué es el poder en política? Uno podría asumir que, aquel partido que tenga más votos o escaños tiene de forma automática más poder, pero la experiencia nos dice lo contrario. Pondré por ejemplo la XII legislatura en España, o sea, esta.

En esta legislatura los diferentes grupos parlamentarios tienen, en el Congreso de los Diputados, los siguientes escaños:

Partido Popular 134
Partido Socialista 84
Unidos Podemos – En Comú Podem – En Marea 67
Ciudadanos 32
ERC 9
PNV 5

No incluyo el grupo mixto porque no se puede considerar que tenga acción política conjunta. Como observamos, los grupos con más escaños son el Partido Popular y el Partido Socialista. El que menos el PNV. Sin embargo, cuando repasamos mentalmente lo ocurrido en esta legislatura, vemos que el PNV, con sus cinco escaños, primero hizo posible que se aprobasen los presupuestos en el gobierno de Mariano Rajoy y, una semana más tarde, votó a favor durante de la moción de censura y dejo caer dicho gobierno. Ni PP ni PSOE, a pesar de ser los partidos con más escaños, fueron capaces de mantener el sus gobiernos hasta el final natural de la legislatura y, sin embargo, partidos con muchos menos escaños condicionaron sus decisiones constantemente.

Esto se debe a que el poder real en política no se debe al número de escaños que uno posea, sino a la capacidad de inclinar la balanza hacia un lado o hacia otro a la hora de tomar una decisión. El índice de Shapley-Shubik (Capítulo 3) mide precisamente este poder: recoge la capacidad de un partido de cambiar una decisión según se ponga de parte de unos o de otros.

En resumen…

El libro, además de contener un nutrido acervo de ejercicios muy recomendables, también trata otros temas interesantes además de los expuestos aquí, como son las subastas, las elecciones de sí o no, los repartos, los intercambios, etc. Esta es, en definitiva, una lectura muy recomendable para aquellos que quieran entender el funcionamiento del mundo en el que vivimos.

Nota da Biblioteca:  Este é o link que leva directamente aos ebooks da a colección de Matemáticas e Estadística de Springer.: 
https://goo.gl/g8ZtJD

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MatHex, xogo de estratexia onde o coñecemento é a arma


 

 

 

 

 

 

 

 

Un equipo de docentes do Departamento de Matemáticas da USC, coa colaboración de profesorado de educación secundaria, acaba de pór en rede a versión beta (en castelán) do xogo gratuíto MatHex (https://mathex.games), que ten como obxectivo achegar a ciencia a todo tipo de público, combinando estratexia e coñecementos.

A base do videoxogo é un taboleiro formado por hexágonos inspirado no clásico xogo de mesa HEX creado polos matemáticos John Nash e Piet Hein, que se presenta combinado con preguntas. A versión beta, que en futuras edicións irá ampliando a base de preguntas, presenta cinco niveis de dificultade, incluíndo un especial para nenos e nenas de 7 a 10 anos. Polo de agora están activos os modos de xogo ‘Persoa contra Persoa’, e ‘persoa contra máquina’, hai máquinas con tres niveis de destreza. Proximamente poñerase en marcha o modo ‘en liña’, para xogar con opoñentes a distancia

MatHex, que conta con financiamento da Fundación Española para a Ciencia e aTecnoloxía (FECYT) do Ministerio de Ciencia, Innovación e Universidades, presenta a vantaxe de que non ocupa espazo no dispositivo xa que non necesita instalación; xógase dende o navegador web da computadora ou da tablet.

Nestes momentos o que buscan é a maior participación posible para poder mellorar a versión beta e ir avanzando no programa definitivo. Como explica unha das súas creadoras, a profesora Elena Vázquez Abal, “temos intención de que o xogo se poida usar tamén nas aulas, onde o profesorado poderá incluír o seu conxunto de preguntas e xogar co alumnado da clase. Ademais, neste curso contamos con ter unha versión en galego.”.

MatHex é froito dos docentes Elena Vázquez Abal, José Carlos Díaz Ramos, Esteban Calviño Louzao e Víctor Sanmartín López, membros do grupo de innovación docente GrID-A/ XD da USC. Ademais, contaron coa colaboración de CHOCOSOFT no desenvolvemento e programación do xogo e de ADUMBRO no deseño gráfico e da interface.

Web: https://mathex.games
Mail: info@mathex.games
Facebook: https://www.facebook.com/Mathex.games/

 

 

Curso en liña sobre Competencias en Información: desde o 29 de xaneiro ata o 15 de febreiro está aberto o prazo de inscrición para todo o alumnado de Grao en Matemáticas


 

A propósito de André Louis Cholesky


Sección A Propósito dos Libros

Pilar Mato Eiroa

 

Post realizado por la profesora Pilar Mato Eiroa del Departamento de Matemática Aplicada de la USC. 

 

Aunque desde la antigüedad se resolvían lo que puede ser interpretado actualmente como sistemas de ecuaciones lineales, se necesitó tiempo para formalizar el concepto. Como muestra, de 107 álgebras impresas entre 1550 y 1660, sólo 4 libros contenían ecuaciones lineales simultáneas. Además, el término eliminación se debe al francés Sylvestre François Lacroix (1765-1843) que en un texto de 1804 escribía “This operation, by which one of the unknowns is removed, is called elimination”.

Si bien el vocablo matriz apareció en la literatura matemática en 1850 con el británico James Joseph Sylvester (1814-1897), el nacimiento de las matrices y del álgebra lineal se atribuye al también británico Arthur Cayley (1821-1895), quién publicó en 1858 el texto A Memoir on the Theory of Matrices; botón de muestra de su ingente trabajo es la demostración de que una matriz de orden 2 o 3 satisface la correspondiente ecuación característica matricial. El irlandés William Rowan Hamilton (1805-1865) probó el mismo resultado, para matrices de orden 4, en el curso de sus investigaciones sobre los cuaterniones, una generalización de los números complejos, formados por cuaternas, en lugar de pares, de números reales. Tal resultado se conoce actualmente como teorema de Cayley-Hamilton, atribuyéndose la primera demostración para matrices de orden arbitrario al alemán Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917), quién la realizó alrededor de 1878. Dicho teorema permite justificar la búsqueda de la solución de un sistema lineal en sucesivos subespacios de Krylov, nombrados así como homenaje al ruso Aleksei Nikolaevich Krylov (1863-1945), y generados por las sucesivas potencias de A aplicadas a un vector inicial; es la base sobre la cual reposan métodos para la resolución de sistemas de orden elevado tan conocidos como el método del gradiente conjugado (CG), propuesto en 1952 por Magnus R. Hestenes y Eduard Stiefel, o el método del residuo mínimo generalizado (GMRES), propuesto en 1986 por Yousef Saad y Martin H. Schultz.

Los trabajos más tempranos sobre mínimos cuadrados comenzaron a finales del siglo XVIII en el ajuste de observaciones celestiales. El honor de la primera publicación del método corresponde al francés Adrien-Marie Legendre (1752-1833) en un anexo de la obra Nouvelles methodes pour la determination des orbites des cometes, en 1805. El alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855) en su tratado Theoria motus corporum coelestium, publicado en 1809, indica que él utilizaba dicha técnica desde 1795. En ambos casos, se trataba de resolver un número de ecuaciones lineales simultáneas superior al número de incógnitas, es decir, un sistema lineal sobredeterminado cuya expresión es Ax=y, siendo A una matriz m×n, con m>n. La solución en el sentido de mínimos cuadrados, x̃, es única cuando A tiene rango máximo y es la solución del sistema con matriz cuadrada (ATA)x̃=ATy, denominado sistema de ecuaciones normales.

La resolución sistemática de sistemas lineales mediante eliminación comenzó a desarrollarse debido a los valores militar y económico de la cartografía. Una vez efectuada la triangulación del terreno se escribían un cierto número de ecuaciones representando las relaciones geométricas entre diversos elementos de la triangulación lo que habitualmente conducía a un sistema sin solución, en parte motivado por los errores en las observaciones. Con el fin de compensar dichas observaciones, se reescribe el sistema incluyendo los residuos y se obtiene como resultado un sistema lineal subdeterminado, con un número de ecuaciones inferior al número de incógnitas, cuya expresión es Ax=y, siendo A una matriz n×m con m>n. El método para resolverlo, ideado por Gauss hacia 1826, elige las compensaciones más plausibles, y consiste en un método de mínimos cuadrados similar al caso anterior. La solución en el sentido de mínimos cuadrados, x̃̃, es única cuando A tiene rango máximo y consiste en obtener en primer lugar la solución del sistema con matriz cuadrada (AAT)x̃=y, denominado sistema de ecuaciones normales, y luego multiplicarla por AT, resumiendo x̃̃=AT(AAT)-1y.

En este punto de la historia, recurrimos al texto escrito por los profesores franceses Claude Brezinski y Dominique Tournès, publicado en el año 2014, André Louis Cholesky, Mathematician, Topographer and Army Officer; en el mismo se hace una semblanza de su corta vida y de su intensa obra, la cual incluye el método que lleva su nombre y que goza de una gran popularidad en el ámbito del Álgebra Lineal Numérica. Es el texto perfecto para recordarle en el año en que se cumple el centenario de su muerte, acaecida a las 5 de la mañana del 31 de agosto de 1918,  en Bagneux, Francia, a causa de las heridas producidas en el campo de batalla. Fue posible, en gran medida, gracias al metro cúbico de documentos donados, en 2003, por los descendientes de Cholesky a la École Polytechnique en Paris, lugar donde éste estudió entre 1895 y 1897. Entre los documentos se encontraba el manuscrito autógrafo en el que se describía el método de Cholesky, lo cual supuso para el profesor Brezinski “el principio de una gran aventura”. Es significativo que dicho método fue expuesto por primera vez en una nota de 1924, es decir 6 años después de la muerte de su autor, por el comandante Benoît, un antiguo compañero del ejército francés; aunque conocido entre los topógrafos, su auge se debe a la checoslovaca Olga Taussky y a su marido, el irlandés John Todd, quienes lo recuperaron hacia 1946, haciéndose un hueco en los manuales de los algebristas lineales numéricos de los años 50 del pasado siglo.

Según el obituario escrito por el comandante Benoît en 1922, fue hacia 1900, con motivo de la revisión del meridiano de París, misión asignada a la Sección de Geodesia, que Cholesky imaginó su método para resolver las ecuaciones normales. Parece que lo utilizó en  Argelia, donde fue destinado, por primera vez, en 1902, mientras que el manuscrito que lo contiene Sur la résolution numérique des systèmes d’équations (8 páginas escritas en hojas de papel de 21.8 cm×32 cm) data del 2 de diciembre de 1910. El quid consistió en pensar que dado que muchos sistemas subdeterminados dan lugar a las mismas ecuaciones normales, quizás dadas unas ecuaciones normales se podría encontrar un sistema de partida que se pudiese resolver más fácilmente y, efectivamente, detalló cómo encontrar un sistema alternativo con matriz triangular inferior.

Para los autores del texto, constituye un trabajo perfecto de investigación en el ámbito del Análisis Numérico pues contiene: motivación del problema, presentación y justificación teórica de un nuevo algoritmo, estudio de su estabilidad numérica, explicaciones sobre su implementación a mano y en una calculadora mecánica Dactyle, análisis de los problemas numéricos debidos a la precisión finita de los cálculos, procedimiento para comprobar los resultados y comentarios sobre el tiempo de cálculo empleado. Como curiosidad, la resolución de un sistema de orden 10 con 5 dígitos decimales requería de 4 a 5 horas; además, el método se usó con éxito para varios sistemas de orden 30, y para uno de orden 56.

Pues bien, además de la parte matemática, los lectores del texto se encontrarán con estrategia militar, geografía, historia o topografía. Un texto muy rico sin duda recomendable para los estudiantes del Grado en Matemáticas o de los Dobles Grados Ingeniería Informática/Matemáticas y Matemáticas/Física impartidos actualmente en la Facultad de Matemáticas de la USC.

En Santiago de Compostela, octubre de 2018

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