A propósito dos libros

Relatos topolóxicos: onte e hoxe

Sección A Propósito dos Libros
xose-m-masa

Xosé M. Masa

 

Post realizado polo Catedrático de Xeometría e Topoloxía da USC  Xosé M.  Masa 

 

A Topoloxía, como rama autónoma, naceu no século XX, e nel creceu ata se facer un oco á par da álxebra e da análise. Naceu da man dos conceptos de distancia e de límite, e precisou dun longo camiño de autoafirmación, no que cada chanzo requiría rozar patoloxías, a base de contraexemplos. Sumada á aridez propia da súa formalización axiomática e da súa estreita concatenación coa teoría de conxuntos, cada manual abondaba nunha espiral infinda de enfoques diversos, resultados parciais, novos axiomas, excepcións innúmeras,… As árbores non deixaban ver o bosque, quen se iniciaba no seu estudo non comprendía a razón de tanta gramática para ser capaz finalmente de dicir tan pouco. Os novos tempos, o novo milenio, se queredes, trouxeron o desafío de mudar, soltar lastre e, coa mochila lixeira, avanzar ata os teoremas, a terra prometida.

hausdorff

Felix Hausdorff

Unha das caoriginalracterísticas dos textos clásicos é o amplo espazo adicado á teoría de conxuntos, rebordando as necesidades da materia desenvolta. O que non debe sorprender, pois esta rama da topoloxía foi formalmente iniciada por Cantor, no que chamaba «teoría de conxuntos de puntos», centrada no estudo de propiedades de subconxuntos do espazo euclidiano, propiedades ás que deu nomes que perduran (aberto, pechado, punto de acumulación, conxunto derivado,…) Esta orixe común motiva que o libro universalmente citado coma berce do concepto moderno de espazo topolóxico abstracto sexa Grundzüge der Mengenlehre (Fundamentos da teoría de conxuntos), de Felix Hausdorff, publicado en 1914, onde só na páxina 258, cara o final do libro, fai mención explícita do espazo topolóxico abstracto, e enuncia os seus axiomas.

A outra característica tradicional é o tratamento dado á excepción, ao patolóxico, nun longo camiño de conceptos e resultados técnicos, con sucesivas hipóteses, na procura do «regular», do «normal», do espazo cun comportamento razoablemente bo, preferiblemente, metrizábel; meta que ben puidese representar o que hoxe se denomina espazo polaco.

A isto hai que engadir que alá polos anos 50, tempos de posguerra, iniciouse unha moda de libros herméticos, que menosprezaban as moitas explicacións e fuxían dos debuxos. Foi coma un xarampón que afectou a toda a matemática, a «enfermidade infantil do formalismo». Despois crecemos, aceptamos a incerteza e aprendemos a valorar imaxinación e creatividade. A Topoloxía foi ben sensible a ese movemento. De estudante encandeoume o libro de Hu, tan conciso, nada de literatura: definicións, enunciados, demostracións,… Nin debuxos, nin diagramas. Tamén o Bourbaki, que abría con veneración (a mesma que lle sigo profesando).

Para seguir a súa andadura e apreciar a mutación no estilo, imos achegarnos a dous textos, un que posúe a pegada dás orixes, outro entre os postremeiros dese tempo. Libros que poden servir de manuais para os e as estudantes do Grao en Matemáticas.

Kazimierz Kuratowski

Kazimierz Kuratowski

Para acudir a un clásico, quen mellor que un representante da escola polaca, Kazimierz Kuratowski, mestre antigo. Autor dun vasto tratado, escrito en francés, en Varsovia, Topologie, varias edicións con importantes engadidos. Escrito con tempo e sosego, invocando extensamente aos autores que van construíndo a teoría, el entre outros moitos, labrando conceptos que van cristalizando, ou non; longas veladas no camiño da madurez que, nos anos 50, coa demostración do Teorema de Metrización de Nagata e Smirnov, acadará o fito que culmina esta etapa.

51xuqj3dbzl-_sy344_bo1204203200_

Pero será outro texto do autor o que consideremos aquí,  máis breve e atinxíbel, escrito en polaco nos anos 50, do que seguiremos a segunda edición inglesa, moi ampliada, de título Introduction to set theory and topology. Como non podía ser menos, a primeira parte trata da teoría de conxuntos, na que se inclúe, por exemplo, aritmética de cardinais e ordinais, cunha moi boa descrición, por certo, dos conxuntos de ordinais. A pesar de que, despois, non se utilizan para construír exemplos de espazos topolóxicos. E, inevitablemente, non aforrará munición para percorrer os espazos T1, T2, regulares,  completamente regulares, normais,… Pero é se cadra nos exercicios, que precisan as veces longas indicacións, onde o equilibrio resulta menos logrado.

 

O segundo texto51ot1jgqdol-_sx327_bo1204203200_ escollido é Topological Spaces, From Distance to Neighborhood, de Gerard Buskes e Arnoud van Rooij, Springer, 1997. O subtítulo é unha expresiva declaración de intencións: partir das ferramentas primixenias da análise ata acadar a abstracción do espazo topolóxico. Un esforzo de explicación do alento da topoloxía abstracta, mostrando un variado mosaico de achegas, dinámico, áxil, asumindo riscos na ambición de convencer, cativar. Entusiasta, con propostas múltiples, lecturas, notas históricas das ideas e das xentes, fiestras que se abren a campos menos habituais (análise non standard, números p-ádicos,…), métodos novos, raramente en manuais deste nivel (Teorema de Tietze demostrado por interpolacións,…), un apuntamento sobre a emerxencia do matemático profesional, recomendacións bibliográficas puntuais ben acaídas,… percorrido palpitante ao ar libre, despegado dos axiomas de separación.

 

Dous textos excelentes, distantes en tempo e forma, cun nexo común que quen subscribe aprecia: a énfase na converxencia coma fundamento e ferramenta. E ambos xustifican a súa opción na naturalidade e maior sinxeleza conceptual de tal aproximación. Un primeiro texto a metade da ascensión, avanzando con paso experto, un segundo texto que contempla con deleite a paisaxe que divisa aos seus pés.

 

Compostela, febreiro de 2017

Advertisements

Conversa

Aínda non hai comentarios.

Deixa un comentario

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair / Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair / Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair / Cambiar )

Google+ photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google+. Sair / Cambiar )

Conectando a %s

QR

Horarios

Facultade de Matemáticas USC

BUSCa no catálogo

Bibliografía Recomendada das asignaturas

%d bloggers like this: